BILANGAN BULAT

BAB I    BILANGAN BULAT  
Bilangan Bulat
a. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
• Bulat positif  (1, 2, 3, 4, 5, …)
• Nol                 : 0
• Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …  }
      Garis bilangan bulat :
                        •       •       •       •       •       •       •       ●       ●    
                       -4     -3      -2     -1       0       1       2       3       4      
 bilangan bulat negatif                                                                              bilangan bulat positif
                                                    Bilangan nol        
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
• Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0,  2, 4, 6, …  }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2
• Bilangan bulat ganjil  { …, -5, -3, -1, 1,  3, 5, …  }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
b. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat :
• Penjumlahan dan Sifat-sifatnya
1. Sifat Asosiatif
      ( a + b ) + c = a + ( b + c )
      Contoh :
      (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12 2
            2. Sifat Komutatif
                 a + b = b + a
                 Contoh :
       7 + 2 = 2 + 7 = 9  
   
            3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan
      Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
       
      a + 0 = 0 + a
      Contoh :
                  6 + 0 = 0 + 6
 4. Unsur invers terhadap penjumlahan
                  Invers jumlah (lawan) dari a  adalah  -a  
                  Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
       a + (-a) = (-a) + a
         contoh :
                     5 + (-5) = (-5) + 5 = 0  
 
             5. Bersifat tertutup
                    Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah
        bilangan bulat juga.
 
                   a dan b ∈ bilangan bulat   maka a + b = c  ;   c ∈ bilangan bulat
                   
                    contoh :
                    4 + 5 = 9  ;    4,5,9 ∈ bilangan bulat  
• Pengurangan dan Sifat-sifatnya
1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
                  a – (-b) = a + b
           
                  contoh:
        8 – 5 = 8 + (-5) = 3
                   7 – (-4) = 7 + 4 = 11
2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b  ≠ b - a
            (a – b ) – c   ≠ a – ( b – c )
            Contoh :
             7 – 3  ≠ 3 -7 Æ  4  ≠ - 4
         (9 – 4) – 3  ≠ 9 – (4-3)   Æ 2  ≠ 8
3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
           
            a – 0 = a  dan  0 – a = -a  
4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan
hasilnya adalah bilangan bulat juga
:                  
        a dan b ∈ bilangan bulat   maka a  -  b = c  ;   c ∈ bilangan bulat
                   
                    contoh :
                    7 - 8  = -1  ;    7,8,-1 ∈ bilangan bulat  
• Perkalian dan Sifat-sifatnya
     
             1. a x b = ab Æ hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
                  Contoh:  7 x 6 = 6 x 7 = 42
                 a x –b = -ab Æ hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah  
                                          bilangan bulat negatif
                   Contoh : 3 x -4 = -12
      -a x -b = ab  Æ   hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif  
              Contoh : -4 x -5 = 20  
         
       2. Sifat Asosiatif
       (a x b) x c = a x (b x c)
             Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24    
               
     3. Sifat komutatif
            a x b = b x a
             Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
       4. Sifat distributif
            a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
             Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
 
       5  Unsur identitas untuk perkalian
           - hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
              a x 0 = 0
           - hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga
              a x 1 = 1 x a = a
       6. Bersifat tertutup
            Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga
            a x b = c       ; a, b, c  ∈ bilangan bulat
• Pembagian dan Sifat-sifatnya
1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+)  : (+)  = (+)
Contoh : 8 : 2 = 4
 
2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-)  :  (-)  =  (+)
Contoh :  -10 : -5 = 2
3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
Contoh : 6 : -2 = -3
              -12 : 3 = -4
4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 Æ tidak terdefinisi (~)
0 : a Æ 0 (nol)
Contoh :
0
5
   = ~  (Tidak terdefinisi)
5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b  ≠ b : a
(a:b):c  ≠ a : (b:c)
Contoh : 4 :2   ≠ 2 : 4   Æ 2  ≠
2
1
               (8:2) : 4  ≠ 8 : (2:4) Æ 1  ≠ 16 5 
6. Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
contoh : 6 : 2 = 3 Æ bilangan bulat
              7 : 2 =  3
2
1
Æ bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)
• Pemangkatan bilangan bulat
n
a =  a x a x a x … x a
                     Sejumlah n faktor  
            Contoh :
3
4 = 4 x 4 x 4 = 64
                           
5
3  = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
                       
• Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)
           a =  b  Æ    ( a ) 2
 =
2
b Æ  a =
2
b =  b x b    
 
           Contoh :    81 = ?    Æ 81 =
2
9 = 9 x 9   Æ b = 9
                             20 = ?    Æ 20 =
2
b Æ b = nilainya tidak bulat
                              20 =  4x5 =  4 x  5   =  2  5
           Tabel :
 
       1 = 1x1 = 1
            4 = 2x2 = 2
      9   = 3x3 = 3
            16 = 4x4 = 4
            25 = 5x5 = 5  dan seterusnya
        6

2. Akar kubik (akar pangkat tiga)
         
3
a = b Æ ( ) 3
a
3
 =
3
b = b x b x b
 
           Contoh :
3
27 = ?  Æ 27 =
3
3 = 3 x 3 x 3 Æ b = 3
               
3
54 = ?   Æ 3
27x2 =
3
27 x
3
2 = 3
3
2
          Tabel :
         
3
1 =
3
1x1x1 = 1
         
3
8   =
3
2x2x2 =  2    
         
3
27 =
3
3x3x3 = 3
         
3
64 =
3
4x4x4 = 4
         
3
125 =
3
5x5x5 = 5   dan seterusnya

DOWNLOAD BILANGAN BULAT